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Notes on topos theory

Ces notes passent en revue divers aspects des topoi, notamment les deux sortes de définitions (elementary topoi et Grothendieck topoi) et abordent les aspects logiques liant logique et topologie.

http://rin.io/swashbuckling-topoi/

Et il y a des tas de liens dans le corps du texte, notamment un cours d’introduction:

http://www.fuw.edu.pl/~kostecki/ittt.pdf

une introduction informelle de Leinster:

http://arxiv.org/pdf/1012.5647.pdf

et un article d’Awodey sur les connections entre géométrie, algèbre et logique : “Type theory and homotopy”:

https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/preprints/TTH.pdf

Propriété universelle et foncteurs adjoints

Toujours dans la page Wikipedia en anglais sur l’idée de propriété universelle :

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

nous avons vu dans l’article précédent qu’une propriété universelle est un morphisme soit initial soit terminal dans la “comma-category” (XU)  ou (UX)

Il y a d’ailleurs une formulation équivalente (voir le paragraphe “Equivalent formulations”, c’est de dire que le foncteur  HomC(X, U—), où le tiret après U désigne un objet variable de la catégorie D et où Hom(X, UZ) désigne l’ensemble des morphismes allant de X vers UZ dans la catégorie C, il s’agit donc d’un foncteur : D ——> Ens

que ce foncteur donc est représentable et que le doublet (A, φ) qui est la propriété universelle  (A, φ) dans les termes de la page en est une représentation, voir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

(nous reviendrons sur les foncteurs représentables car c’est très important).

Idem pour une propriété terminale, voir la page….

Passons maintenant au paragraphe à la fin:

Relation to adjoint functors

Dans le diagramme :

UniversalProperty-05.png

où (A1, φ1)  et (A2, φ2) sont deux morphismes initiaux allant respectivement de  X1  à U et de Xà U , le morphisme g faisant commuter le diagramme est unique pour h donné.

Si l’on peut faire cette construction pour tout objet X2  de la catégorie C alors les flèches  X_i \mapsto A_i

et h —–> g

définissent un foncteur  V : C —–> D et il est alors facile de voir que les flèches φ définissent une transformation naturelle

1C ———————> UV  où UV est le foncteur C —> C composé de V suivi de U et où  1C est le foncteur identité sur C.

Ceci veut dire que (V,U) est une paire de foncteurs adjoints, V adjoint à gauche et U adjoint à droite, voir cette page :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

voir le paragraphe “Adjunction in full” :

“An adjunction between categories C and D consists of

  • A functor F : CD called the left adjoint
  • A functor G : CD called the right adjoint
  • A natural isomorphism Φ : homC(F–,–) → homD(–,G–)
  • A natural transformation ε : FG → 1C called the counit
  • A natural transformation η : 1DGF called the unit”

Même raisonnement (dual, en inversant le sens des flèches) pour une propriété terminale..

Réciproquement toute paire de foncteurs adjoints provient de constructions universelles sur ce modèle,, car si F et G sont des foncteurs adjoints avec η et ε respectivement  comme unité et co-unité (définition développée ci dessus de l’adjonction) alors on peut construire un morphisme universel pour tout objet des catégories C et D, selon les diagrammes suivants de la page en anglais:

Universal properties of a pair of adjoint functors

pour tout objet X de la catégorie C : (F(X), ηX) est un morphisme initial de X vers le foncteur G

pour tout objet Y de la catégorie D : (G(Y), εY) est un morphisme terminal du foncteur F vers Y

Attention il y a une ambiguité de notations qui peut induire en erreur : dans la page sur les propriétés universelles :

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

on passe d’un foncteur U : D —–> C qui induit un foncteur V : C ——> D  (par la construction du morphisme universel pour tout objet X de la catégorie C ) à une paire de foncteurs F et G selon la notation utilisée dans la page :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

seulement dans cette dernière page le foncteur F va de la catégorie D vers la catégorie C, il correspond donc au foncteur U de la notation précédente, tandis que le foncteur G va de la catégorie C vers la catégorie D, correspondant donc au foncteur V.

Or le diagramme ci dessus ne peut se comprendre que si F va de C vers D, et G de D vers C : ils se sont emmêlés les pinceaux au passage.

J’ ai la flemme de remettre les notations en termes de U et de V, d’ailleurs je ne sais pas créer de diagrammes sur WordPress.

Comme termine la page Wiki fort justement : la propriété universelle est une notion plus générale que celle de foncteurs adjoints:

Universal constructions are more general than adjoint functor pairs: a universal construction is like an optimization problem; it gives rise to an adjoint pair if and only if this problem has a solution for every object of C (equivalently, every object of D).

 

La nature duale de la théorie des topoi: géométrique et logique

Je rappelle l’existence de cet article “Locales and toposes as spaces”:

http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/LocTopSpaces.pdf

dont j’avais parlé ici:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

double nature qui correspond aux deux créateurs de la théorie des topoi : Grothendieck (pour la géométrie algébrique, qui n’est rien d’autre que la continuation des travaux de Descartes) et William Lawvere (pour la logique).

Et le fait que Lawvere ait donné cette année un cours spécial sur Grothendieck et la conception moderne de l’espace est hautement significatif :

http://ct2015.web.ua.pt/abstracts/lawvere_b.pdf

La mathématique est le domaine de l’unification comme l’indique d’ailleurs Lawvere lui même à propos de la création de la théorie des catégories par Mac Lane et Eilenberg (page 3 de l’interview suivante):

http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf