Category Archives: Topoi

Stefano Gogioso sur Arxiv #Time

https://arxiv.org/find/quant-ph/1/au:+Gogioso_S/0/1/0/all/0/1
Il est l’auteur de “Monadic dynamic” qui est commenté ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/22/dynamique-monadique-le-temps-comme-propriete-universelle-du-changement/

Rocco Gangle : diagrammatic immanence, Category theory and philosophy 

https://books.google.fr/books?id=BEIkDQAAQBAJ&pg=PA218&lpg=PA218&dq=category+internal+to+itself&source=bl&ots=AtOEE7NEME&sig=yvX25N4T5tOBXiYZ3S0dQWrUxgI&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjT37mppf7PAhWD8RQKHWYTB8E4ChDoAQgfMAI#v=onepage&q=category%20internal%20to%20itself&f=false

#CochetBrunschvicg 4 : le dialogue mathématique entre la masse et la lumière 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/10/14/cochetbrunschvicg-4-le-dialogue-entre-la-masse-et-la-lumiere/

Higher topos theory : des n-catégories aux (∞,n)-catégories

Commençons donc à étudier le chapitre 1, consistant en un survol de la théorie des n-catégories, du livre de Jacob Lurie après la préface:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Le texte de HTT (pour “Higher topos theory” nous utiliserons désormais cette abréviation) est ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Page 4 du chapitre 1 “Overview of higher catégorie theory” (page 22 sur 949 du document pdf) Jacob Lurie introduit les n-catégories en commençant par les 2-catégories, puis les 3-catégories, etc.., c’est effectivement ainsi qu’on procède lorsqu’on veut expliquer le concept à quelqu’un de non familiarisé avec la théorie : “un 3-morphisme est une flèche entre les 2-morphismes, et ainsi de suite..”
Seulement quand on essaye réellement de construire ces choses, on se heurte très vite à des ennuis inextricables.
Nous avons vu aujourd’hui les catégories enrichies :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/09/03/categories-enrichies/

or une 2-catégorie peut être considérée comme une catégorie enrichie sur Cat, la catégorie des categories.
Ceci veut dire que pour tout couple d’objets À et B la collection Hom(A,B) des flèches entre À et B est une catégorie. Et les morphisme sur entre À et B d’une part, entre B et C d’autre part, doivent se composer, ce qui nous conduit à des foncteurs de composition qui doivent respecter une contrainte d’associativité qui est explicitée par un diagramme que je vous laisse découvrir page 4 du chapitre 1 (page 22 sur 949 du document pdf)
Il y a alors deux manières d’envisager les contraintes sur les foncteurs de composition:
– soit comme des égalités strictes entre foncteurs ce qui donne les 2-categories strictes

-soit comme des égalités “à un isomorphisme naturel près” (ce qui est plus conforme à l’esprit de la théorie des catégories) : cela conduit à introduire des transformations naturelles γ indexées par les objets A, B,C,D (voir page 4 toujours) qui sont des isomorphismes naturels obéissant à des conditions généralisant l’axiome de pentagone (voir en annexe A.1.3).

On en arrive ainsi à la définition d’une 2-catégorie faible (“weak 2-category”)

Pour les 3-catégories cela devient très…lourd, on peut croire Jacob Lurie. Je peux citer le livre de l’AMS : “Coherence for tricategories”, et je puis assurer que cela devient…monstrueux.

Or Lurie cite page 5 l’exemple d’une 3-catégorie , un 3-groupoide , qui ne peut pas être décrit correctement en utilisant le langage des 3-catégories strictes. Or la définition des 3-catégories faibles est extrêmement…compliquée.

Si Jacob Lurie le dit, c’est que c’est vrai !

et la référence [33] qu’il cite pour une définition est justement le livre “Coherence for tricategories” que je viens de citer quelques lignes plus haut.

Jacob Lurie propose donc de simplifier et tailler dans cette jungle inextricable en se contentant d’étudier ce qu’il appelle les (∞,n)-catégories pour lesquelles les k-morphismes sont inversibles (des isomorphismes) pour tout k > n.

Elles sont appelées aussi en anglais (infinity,n)-categories.

Le livre ne traitera presqu’exclusivement, Lurie nous en prévient page 5, que des ∞,-catégories, qui sont les (∞,,1)-catégories.

Il fera référence aussi aux (∞,,0)-catégories, qui sont les ∞,-groupoïdes, et aux (∞,2)-catégories qu’il appelle ∞,-bicategories.

Page 6:

La collection de toutes les (petites, c’est à dire dont les collections d’objets et de morphismes sont des ensembles) ∞,-catégories est une (grande, c’est à dire que les collections des objets et morphismes sont des classes) ∞,-bicatégorie.

Une (∞,n)-catégorie peut être considérée comme une ∞-catégorie enrichie sur les (∞,n-1)-catégories.

Pour aller plus loin sur ces questions Lurie cite page 6 deux références :

-sa propre thèse “Derived algebraic geometry” qui est ici :

Click to access DAG.pdf

-et un article de Tamsamani

“On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets”

qui est ici:

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

CCC : cartesian closed category (catégories cartésiennes fermées)

Une catégorie est dite

cartésienne

si elle possède un objet terminal et si tout couple d’objets possède un produit.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_cartésienne

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Produit_(catégorie)

Rappel : objet terminal comme produit sont deux exemples de limites d’un diagramme

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/21/diagrammes-cones-et-limites-dans-une-categorie/

Un objet terminal (c’est à dire tel qu’il existe une flèche unique dirigée de tout objet de la catégorie vers cet objet terminal) est limité du diagramme vide (“goutte de néant qui manque à la mer”), un produit de deux objets est la limite du diagramme formé par ces deux objets uniquement (sans flèches)

Une catégorie cartésienne est dite fermée si elle est aussi munie de l’exponentiation, si pour tout couple d’objets Z et Y il existe un objet exponentielle ZY

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Objet_exponentiel

La page en anglais sur les CCC est nettement meilleure:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category

Une exponentielle est définie aussi comme limite d’un diagramme:


image

On comprend plus facilement si l’on regarde ce qui se passe dans le cas de la catégorie des ensembles (qui est un topos, donc possède toutes les limites finies, donc est une CCC):

Si Z et Y sont des ensembles, objets du topos Ens, alors :

ZY est l’ensemble des applications (des flèches, des fonctions) de Y vers Z

ZY = {f | f: Y——-> Z}

La flèche (la fonction, dans le cas des ensembles) eval :

eval : ZY × Y ——–> Z

est la fonction évaluation qui envoie un couple (f, y) sur la valeur de f au point y qui est f(y) et appartient par définition à Z

Et l’application

λg : X ——> ZY

(Notation venant du λ-calcul, voir https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Lambda-calcul)

est telle que:

λg(x)(y) = g(x,y)

C’est ce qu’on appelle en programmation la forme curryfiée de g

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Curryfication

A noter qu’une adjonction apparaît, dans le cas d’une CCC (munie d’exponentielle pout tout couple d’objets) : le foncteur qui envoie Z sur ZY est adjoint à droite du foncteur qui envoie A sur A × Y

Et cette adjonction est caractérisée par la bijection naturelle entre les ensembles de flèches :

image