Category Archives: Higher topos theory

Stefano Gogioso sur Arxiv #Time

https://arxiv.org/find/quant-ph/1/au:+Gogioso_S/0/1/0/all/0/1
Il est l’auteur de “Monadic dynamic” qui est commenté ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/22/dynamique-monadique-le-temps-comme-propriete-universelle-du-changement/

Around Grothendieck’s Esquisse d’un programme

https://books.google.fr/books?id=exl6jKvemPIC&pg=PA275&lpg=PA275&dq=pursuing+stacks&source=bl&ots=snt6flsPSz&sig=MUjzpNh851saydnw_OUeSeWockE&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiSz879oNHSAhWEIcAKHWOzAK04ChDoAQgkMAU#v=onepage&q=pursuing%20stacks&f=false

Higher topos theory : des n-catégories aux (∞,n)-catégories

Commençons donc à étudier le chapitre 1, consistant en un survol de la théorie des n-catégories, du livre de Jacob Lurie après la préface:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Le texte de HTT (pour “Higher topos theory” nous utiliserons désormais cette abréviation) est ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Page 4 du chapitre 1 “Overview of higher catégorie theory” (page 22 sur 949 du document pdf) Jacob Lurie introduit les n-catégories en commençant par les 2-catégories, puis les 3-catégories, etc.., c’est effectivement ainsi qu’on procède lorsqu’on veut expliquer le concept à quelqu’un de non familiarisé avec la théorie : “un 3-morphisme est une flèche entre les 2-morphismes, et ainsi de suite..”
Seulement quand on essaye réellement de construire ces choses, on se heurte très vite à des ennuis inextricables.
Nous avons vu aujourd’hui les catégories enrichies :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/09/03/categories-enrichies/

or une 2-catégorie peut être considérée comme une catégorie enrichie sur Cat, la catégorie des categories.
Ceci veut dire que pour tout couple d’objets À et B la collection Hom(A,B) des flèches entre À et B est une catégorie. Et les morphisme sur entre À et B d’une part, entre B et C d’autre part, doivent se composer, ce qui nous conduit à des foncteurs de composition qui doivent respecter une contrainte d’associativité qui est explicitée par un diagramme que je vous laisse découvrir page 4 du chapitre 1 (page 22 sur 949 du document pdf)
Il y a alors deux manières d’envisager les contraintes sur les foncteurs de composition:
– soit comme des égalités strictes entre foncteurs ce qui donne les 2-categories strictes

-soit comme des égalités “à un isomorphisme naturel près” (ce qui est plus conforme à l’esprit de la théorie des catégories) : cela conduit à introduire des transformations naturelles γ indexées par les objets A, B,C,D (voir page 4 toujours) qui sont des isomorphismes naturels obéissant à des conditions généralisant l’axiome de pentagone (voir en annexe A.1.3).

On en arrive ainsi à la définition d’une 2-catégorie faible (“weak 2-category”)

Pour les 3-catégories cela devient très…lourd, on peut croire Jacob Lurie. Je peux citer le livre de l’AMS : “Coherence for tricategories”, et je puis assurer que cela devient…monstrueux.

Or Lurie cite page 5 l’exemple d’une 3-catégorie , un 3-groupoide , qui ne peut pas être décrit correctement en utilisant le langage des 3-catégories strictes. Or la définition des 3-catégories faibles est extrêmement…compliquée.

Si Jacob Lurie le dit, c’est que c’est vrai !

et la référence [33] qu’il cite pour une définition est justement le livre “Coherence for tricategories” que je viens de citer quelques lignes plus haut.

Jacob Lurie propose donc de simplifier et tailler dans cette jungle inextricable en se contentant d’étudier ce qu’il appelle les (∞,n)-catégories pour lesquelles les k-morphismes sont inversibles (des isomorphismes) pour tout k > n.

Elles sont appelées aussi en anglais (infinity,n)-categories.

Le livre ne traitera presqu’exclusivement, Lurie nous en prévient page 5, que des ∞,-catégories, qui sont les (∞,,1)-catégories.

Il fera référence aussi aux (∞,,0)-catégories, qui sont les ∞,-groupoïdes, et aux (∞,2)-catégories qu’il appelle ∞,-bicategories.

Page 6:

La collection de toutes les (petites, c’est à dire dont les collections d’objets et de morphismes sont des ensembles) ∞,-catégories est une (grande, c’est à dire que les collections des objets et morphismes sont des classes) ∞,-bicatégorie.

Une (∞,n)-catégorie peut être considérée comme une ∞-catégorie enrichie sur les (∞,n-1)-catégories.

Pour aller plus loin sur ces questions Lurie cite page 6 deux références :

-sa propre thèse “Derived algebraic geometry” qui est ici :

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

-et un article de Tamsamani

“On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets”

qui est ici:

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006