Adjonction 2 : en termes d’isomorphisme naturel des foncteurs Hom

Regardons la page Nlab sur les foncteurs adjoints:

http://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor

Passons pour aujourd’hui sur la définition car elle est en termes de 2-catégories et nous n’avons pas encore abordé cette notion, et lisons le paragraphe “In termes of Hom-functors”.

Soit une adjonction de foncteurs:

L⊣R

L est dit adjoint à gauche de R, R est dit adjoint à droite de G

Voir l’article précédent de la série :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/16/adjonction-1-foncteurs-adjoints/

Le foncteur dont parle la page Nlab:

Cop x D ———> Set

(où Set est en anglais la catégorie Ens des ensembles)

est ce qu’on appelle un bifoncteur, à deux variables.. Cop est la catégorie opposée de C, ayant les mêmes objets mais où l’on inverse le sens des flèches.

Il est construit ainsi : HomD(L(−),−)≃HomC(−,R(−)) désigne un isomorphisme naturel entre deux foncteurs, c’est à dire une transformation naturelle qui est un isomorphisme.
Si vous remplacez les tirets dans l’équation ci dessus par des objets fixés A de la catégorie C et B de la catégorie D vous obtenez deux ensembles en bijection:
HomD (L(A), B) est l’ensemble des flèches allant de L(A) vers B dans D, c’est le premier membre de la bijection
Et HomC(A, R(B)) est l’ensemble des flèches allant de A dans R(B) dans la catégorie C
Les deux ensembles sont en bijection puisque L⊣R
A et B varient, nous obtenons toujours une bijection.
Ceci est résumé par :

Il y a un isomorphisme naturel entre les deux foncteurs Hom décrits ci dessus.
Les familles de bijections indexées par A, B décrites page 30 de :

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

sont les composantes de cet isomorphisme naturel.
On comprend alors que hA aille de A’ vers A alors que hB va de B vers B’ : c’est parce que le bifoncteur a Cop en première variable et D en seconde. Cop est la catégorie opposée de C, donc hA va de A’ vers A alors que hB va de B vers B’

La page Wiki pour les foncteurs Hom est:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_Hom

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2 thoughts on “Adjonction 2 : en termes d’isomorphisme naturel des foncteurs Hom

  1. Pingback: Adjonction 2 : en termes d’isomorphisme naturel des foncteurs Hom | Hénosophie μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια

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